Victor的魔鬼训练进入第二周。从特征值的”主轴”直觉到矩阵分解三剑客，从推荐系统的矩阵魔法到投资组合的数学优化，这不仅是技术的深入，更是理论与实战的完美融合。当Carol亲手实现SVD压缩，当Bob用PCA提取因子，SigmaX的团队终于开始理解：为什么数学是量化的灵魂。
本期关键词：特征值、特征向量、SVD奇异值分解、PCA主成分分析、LU/QR分解、推荐系统、投资组合优化、数值稳定性
🎯寻找变换的”主轴”
周一下午，Victor准时出现在培训室。
他环顾四周，发现每个人的眼神都比上周更加专注。一周的高强度训练，已经让这群”代码猴子”开始有了一些数学觉悟。
“上周我们学了矩阵是变换机器。今天，我要教你们找到变换的灵魂。”
Victor在白板上画了一个椭圆：
“这个椭圆是由单位圆经过某个矩阵变换得到的。问题是：这个变换最重要的方向是什么？”
Alice举手：“长轴和短轴的方向？”
Victor难得露出赞许的表情：
“对！长轴和短轴就是这个变换的特征方向。沿着这些方向，向量只会被拉伸或压缩，不会被旋转！”
他在白板上写下核心定义：
特征值与特征向量：
给定矩阵A，如果存在非零向量v和标量λ，使得： Av = λv
则v是A的特征向量，λ是对应的特征值。
几何意义：
-
特征向量v：变换后方向不变的向量
-
特征值λ：沿该方向的拉伸倍数
Bob皱眉：“等等，Av应该是矩阵乘向量，结果是另一个向量。怎么会等于λv这种标量乘向量？”
“这正是特征向量的特殊之处！”
Victor用力在白板上画：
“大多数向量经过矩阵变换后，方向会改变。但特征向量是那些只被拉伸不被旋转的特殊向量。找到它们，你就找到了变换的本质！”
Carol问：“那怎么计算特征值和特征向量？”
Victor写下推导：
Av = λv
Av - λv = 0
(A - λI)v = 0
这是一个齐次方程组。
要有非零解v，必须：det(A - λI) = 0
这叫做特征方程。解出λ，再代回去解v。他用一个具体例子演示：
A = [3 1]
[0 2]
特征方程：
det([3-λ 1 ]) = 0
([0 2-λ])
(3-λ)(2-λ) - 0 = 0
λ₁ = 3, λ₂ = 2
对于λ₁=3：
(A - 3I)v = [0 1][v₁] = [0]
[0 -1][v₂] [0]
解得：v₁ = (1, 0)
对于λ₂=2：
(A - 2I)v = [1 1][v₁] = [0]
[0 0][v₂] [0]
解得：v₂ = (1, -1)（归一化后）Eric问：“这在量化中有什么用？”
Victor推了推眼镜，声音变得严肃：
“用处大了。还记得上周那个让你们亏1000万的协方差矩阵吗？协方差矩阵的特征值和特征向量告诉你：投资组合风险的主要来源是什么！”
他在白板上快速写：
# 协方差矩阵的特征分解
cov_matrix = np.cov(returns.T)
eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eig(cov_matrix)
# 特征值 = 各主成分的方差
# 特征向量 = 主成分的方向（即主要风险因子）
# 最大特征值对应的特征向量 = 主要风险方向
# 如果最大特征值占总方差的90%，说明风险高度集中！Alice恍然大悟：“所以如果协方差矩阵的最大特征值特别大，说明所有资产都暴露在同一个风险因子上？”
“孺子可教。”Victor难得夸奖，“这就是为什么2008年金融危机时，所有资产同时崩溃。它们看似分散，但都暴露在同一个系统性风险上。特征分解能提前发现这个隐患。”
🔬PageRank：特征向量的商业奇迹
第二天，Victor一进门就在白板上写了一个名字：
Google PageRank“你们知道Google怎么给网页排名的吗？”
Bob举手：“根据链接数量？链接越多的网页越重要？”
“太天真了。”Victor冷笑，“如果只看链接数量，任何人都可以创建一万个垃圾网页互相链接，刷上排名。Google的天才之处在于：不仅看链接数量，还看链接的质量。”
他在白板上画了一个网页链接图：
“假设有四个网页ABCD。A被B和C链接，B被D链接，C被A链接，D被B和C链接。问题是：哪个网页最重要？”
Victor写下PageRank的核心思想：
PageRank核心思想：
1. 一个网页的重要性 = 所有链接到它的网页的重要性之和
2. 如果一个重要网页链接到你，你也变得重要
3. 重要性会"传递"
数学表达：
PR(A) = Σ PR(i)/L(i) （对所有链接到A的网页i求和）
L(i) = 网页i的出链数量“这个方程有个问题：PR(A)的计算需要PR(B)和PR(C)，而PR(B)的计算又需要PR(D)，PR(D)的计算需要PR(B)和PR(C)…这是个循环依赖！”
Carol问：“那怎么解？”
Victor露出得意的笑容：
“把它写成矩阵形式！”
定义转移矩阵M：
M[i][j] = 1/L(j) 如果j链接到i
M[i][j] = 0 否则
则：
PR = M × PR
这不就是：Mv = v，即 Mv = 1·v
PageRank向量就是转移矩阵M的特征值为1的特征向量！全场惊叹。
Victor继续说：
“Google每天要对数十亿网页计算PageRank。他们使用的是幂迭代法：从任意初始向量开始，不断乘以M，最终会收敛到主特征向量。”
# 幂迭代法计算PageRank
def pagerank(M, iterations=100):
n = M.shape[0]
pr = np.ones(n) / n # 初始：均匀分布
for _ in range(iterations):
pr = M @ pr # 矩阵乘法
pr = pr / np.sum(pr) # 归一化
return prAlice问：“为什么幂迭代一定会收敛到主特征向量？”
“好问题！”Victor在白板上快速推导：
设A的特征值为λ₁ ≥ λ₂ ≥ ... ≥ λₙ
对应特征向量为v₁, v₂, ..., vₙ
任意初始向量x₀可以分解为：
x₀ = c₁v₁ + c₂v₂ + ... + cₙvₙ
经过k次迭代：
Aᵏx₀ = c₁λ₁ᵏv₁ + c₂λ₂ᵏv₂ + ... + cₙλₙᵏvₙ
= λ₁ᵏ(c₁v₁ + c₂(λ₂/λ₁)ᵏv₂ + ...)
当k→∞，如果|λ₁| > |λ₂|，则(λ₂/λ₁)ᵏ → 0
结果趋近于c₁λ₁ᵏv₁，即主特征向量的方向！“这就是幂法的数学原理。Google每天就是在做这个计算，只不过矩阵规模是数十亿×数十亿。”
🗡矩阵分解三剑客
周三，Victor宣布进入本周的重头戏：
“今天开始，我们学习矩阵分解。这是线性代数最强大的工具，也是机器学习和量化金融的核心技术。”
他在白板上写下三个名字：
矩阵分解三剑客：
1. SVD（奇异值分解）：万能分解，任意矩阵都可用
2. PCA（主成分分析）：数据降维的标准工具
3. LU/QR分解：数值计算的效率担当SVD：万能的分解器
“SVD是线性代数的瑞士军刀。任何矩阵，不管是方阵还是长方形，不管是满秩还是降秩，都可以做SVD分解。”
Victor写下SVD的定义：
对于任意 m×n 矩阵 A：
A = UΣVᵀ
其中：
- U：m×m 正交矩阵（左奇异向量）
- Σ：m×n 对角矩阵（奇异值，从大到小排列）
- V：n×n 正交矩阵（右奇异向量）
几何意义：
任何线性变换 = 旋转 × 拉伸 × 旋转
= V旋转 × Σ拉伸 × U旋转Bob问：“SVD和特征分解有什么区别？”
“好问题。特征分解只能用于方阵，而且必须是可对角化的。SVD适用于任意矩阵，这才是它强大的地方。”
Victor展示了SVD的一个经典应用——图像压缩：
# SVD图像压缩
from PIL import Image
import numpy as np
# 读取灰度图像
img = np.array(Image.open('photo.jpg').convert('L'))
# SVD分解
U, S, Vt = np.linalg.svd(img, full_matrices=False)
# 只保留前k个奇异值
k = 50
compressed = U[:, :k] @ np.diag(S[:k]) @ Vt[:k, :]
# 压缩比 = k(m+n+1) / (m×n)
# 对于1000×1000的图像，k=50时压缩比约为10%“奇异值从大到小排列，前面几个奇异值包含了图像的主要信息，后面的只是噪声和细节。保留前k个奇异值，就能用很少的数据重建图像！”
Alice问：“在量化中，SVD怎么用？”
Victor露出神秘的笑容：
“推荐系统。Netflix用SVD来预测用户对电影的评分。用户-电影评分矩阵做SVD分解，低秩近似就能填补缺失的评分，这就是协同过滤的核心！”
PCA：降维的艺术
“PCA和SVD关系密切，但目的不同。SVD是分解矩阵，PCA是降维。”
Victor在白板上画了一个点云：
“给定一堆高维数据点，PCA找到方差最大的方向作为第一主成分，然后找垂直于它且方差第二大的方向作为第二主成分…以此类推。”
PCA的步骤：
1. 数据中心化（减去均值）
2. 计算协方差矩阵
3. 对协方差矩阵做特征分解
4. 按特征值大小排序特征向量
5. 选取前k个特征向量作为主成分
6. 将数据投影到主成分上
数学上：PCA就是对中心化数据矩阵做SVD！Eric问：“PCA在量化中怎么用？”
“因子模型！”Victor提高了音量，“假设你有100只股票的收益率序列，直接分析100维太复杂。用PCA降到5维，这5个主成分就是隐含的风险因子——可能对应市场因子、行业因子、规模因子等。”
# PCA提取因子
from sklearn.decomposition import PCA
returns = load_stock_returns() # (T, 100) 100只股票的收益率
pca = PCA(n_components=5)
factors = pca.fit_transform(returns) # (T, 5) 5个因子
# 解释方差比例
print(pca.explained_variance_ratio_)
# 例如：[0.45, 0.20, 0.10, 0.08, 0.05]
# 前5个因子解释了88%的方差！Carol若有所思：“所以上周说的协方差矩阵降秩问题，也可以用PCA来解决？”
“对！”Victor赞许地点头，“如果你的100×100协方差矩阵秩只有50，可以用PCA提取前50个主成分，在这个低维空间做风险分析，既稳定又有意义。”
LU/QR分解：效率之选
“最后说说LU和QR分解。这两个在理论上不如SVD优雅，但在数值计算中至关重要。”
LU分解：A = LU
- L：下三角矩阵
- U：上三角矩阵
- 用途：快速解线性方程组
为什么快？
直接求逆：O(n³)
LU分解后解方程：O(n²)
如果要解多个方程组Ax₁=b₁, Ax₂=b₂, ...
只需分解一次A，然后每次O(n²)求解QR分解：A = QR
- Q：正交矩阵（列向量相互垂直）
- R：上三角矩阵
- 用途：最小二乘法、特征值计算
为什么用QR不用直接求逆？
数值稳定性！正交矩阵的条件数为1，不会放大误差Bob问：“什么时候用LU，什么时候用QR？”
“规则很简单：解方程组用LU，最小二乘用QR，一般分析用SVD。记住这三个就够了， 你还没能耐研究它们底层原理呢。”
💼实战专题1：推荐系统
周四，Victor宣布进入实战环节：
“今天我们用矩阵分解实现一个推荐系统。别只会调库，要理解底层原理！”
他在白板上画了一个用户-商品评分矩阵：
“这个矩阵是稀疏的，大部分位置是空的。我们假设这个矩阵是低秩的——用户的喜好可以用少数几个隐含因子来描述。”
Victor写下矩阵分解的目标：
设评分矩阵 R ≈ P × Qᵀ 其中：
- R：m×n 评分矩阵（m个用户，n个商品）
- P：m×k 用户因子矩阵
- Q：n×k 商品因子矩阵
- k：隐含因子数量（通常很小，如10-50） 预测评分：r̂ᵢⱼ = pᵢ · qⱼ（用户i的向量与商品j的向量的点积）
“这就是为什么上周我们要学点积！推荐系统的核心就是：找到用户和商品的隐含向量表示，用点积计算相似度。”
Alice问：“怎么训练P和Q？”
Victor写下优化目标：
# 损失函数：预测评分与真实评分的均方误差
def loss(P, Q, R, mask):
pred = P @ Q.T
diff = (pred - R) * mask # mask标记哪些位置有真实评分
return np.sum(diff ** 2)
# 加上正则化防止过拟合
def regularized_loss(P, Q, R, mask, lambda_reg):
return loss(P, Q, R, mask) + lambda_reg * (np.sum(P**2) + np.sum(Q**2))“训练方法有很多：梯度下降、交替最小二乘（ALS）、随机梯度下降（SGD）…Netflix Prize比赛的冠军方案就是基于矩阵分解的。”
他给出了一个简化的实现：
def matrix_factorization(R, k=10, steps=1000, alpha=0.01, lambda_reg=0.1):
m, n = R.shape
P = np.random.randn(m, k) * 0.1
Q = np.random.randn(n, k) * 0.1
mask = (R > 0).astype(float) # 只在有评分的位置计算损失
for step in range(steps):
# 计算梯度
pred = P @ Q.T
error = (pred - R) * mask
P_grad = error @ Q + lambda_reg * P
Q_grad = error.T @ P + lambda_reg * Q
# 更新参数
P -= alpha * P_grad
Q -= alpha * Q_grad
if step % 100 == 0:
print(f"Step{step}, Loss:{loss(P, Q, R, mask):.4f}")
return P, QBob兴奋地说：“所以Netflix知道我喜欢什么电影，是因为它把我和电影都映射到了同一个向量空间？”
“对！如果你喜欢科幻片，你的用户向量在’科幻’这个维度上的值就会很高。如果一部电影是科幻片，它的商品向量在’科幻’维度上也很高。点积大，推荐概率就高。”
💰实战专题2：投资组合优化
同一天下午，Victor切换到金融主题：
“现在我们用线性代数解决一个真正的金融问题：Markowitz投资组合优化。”
他在白板上写下问题定义：
给定n只股票：
- 预期收益向量 μ = (μ₁, μ₂, …, μₙ)
- 协方差矩阵 Σ（n×n） 投资组合权重向量 w = (w₁, w₂, …, wₙ) 约束：Σwᵢ = 1（权重之和为1） 目标：在给定收益水平下，最小化风险 组合收益：E[r] = wᵀμ 组合风险（方差）：Var[r] = wᵀΣw
“这是一个二次规划问题。用拉格朗日乘数法可以得到解析解，但关键是理解里面的矩阵运算。”
Carol问：“wᵀΣw这个形式代表什么？”
Victor详细解释：
wᵀΣw 叫做二次型（quadratic form） 展开： wᵀΣw = Σᵢ Σⱼ wᵢ wⱼ σᵢⱼ 其中σᵢⱼ是资产i和j的协方差 几何意义：
- 权重向量w定义了一个方向
- Σw是协方差矩阵对w的变换
- wᵀΣw是w和Σw的点积
- 结果是一个标量，表示该方向上的”风险强度”
“还记得特征分解吗？协方差矩阵的特征向量就是风险的主轴。如果你的投资组合权重w正好等于最大特征值对应的特征向量，那你承担的风险最大！”
Alice问：“那最小方差组合怎么求？”
Victor写下推导：
最小化：wᵀΣw
约束：wᵀ1 = 1（权重之和为1）
拉格朗日函数：
L = wᵀΣw - λ(wᵀ1 - 1)
对w求导令其为0：
2Σw - λ1 = 0
w = (λ/2)Σ⁻¹1
代入约束条件：
wᵀ1 = (λ/2)1ᵀΣ⁻¹1 = 1
λ = 2 / (1ᵀΣ⁻¹1)
最终解：
w* = Σ⁻¹1 / (1ᵀΣ⁻¹1)“看到了吗？最小方差组合的权重与协方差矩阵的逆有关。这就是为什么我们上周强调矩阵可逆性——如果协方差矩阵奇异，这个公式就失效了！”
他给出Python实现：
def minimum_variance_portfolio(cov_matrix):
"""计算最小方差组合权重"""
n = cov_matrix.shape[0]
ones = np.ones(n)
# 检查矩阵是否可逆
if np.linalg.matrix_rank(cov_matrix) < n:
print("警告：协方差矩阵降秩，使用伪逆")
cov_inv = np.linalg.pinv(cov_matrix)
else:
cov_inv = np.linalg.inv(cov_matrix)
# w* = Σ⁻¹1 / (1ᵀΣ⁻¹1)
weights = cov_inv @ ones
weights = weights / np.sum(weights)
return weights
def efficient_frontier(returns, cov_matrix, n_points=100):
"""计算有效前沿"""
n = len(returns)
# 目标收益从最小到最大
min_ret = np.min(returns)
max_ret = np.max(returns)
target_returns = np.linspace(min_ret, max_ret, n_points)
frontier_risk = []
frontier_weights = []
for target in target_returns:
# 这里需要解带等式约束的二次规划
# 简化起见，使用scipy.optimize
from scipy.optimize import minimize
def portfolio_var(w):
return w @ cov_matrix @ w
constraints = [
{'type': 'eq', 'fun': lambda w: np.sum(w) - 1},
{'type': 'eq', 'fun': lambda w: w @ returns - target}
]
result = minimize(portfolio_var, np.ones(n)/n,
constraints=constraints)
frontier_risk.append(np.sqrt(result.fun))
frontier_weights.append(result.x)
return target_returns, frontier_risk, frontier_weightsEric感叹：“原来投资组合优化就是在协方差矩阵定义的’风险空间’里找最优方向…”
“现在你开始理解了。”Victor难得露出满意的表情，“数学不是抽象的符号游戏，它描述的是真实世界的结构。投资组合优化、推荐系统、图像压缩…本质上都是在高维空间里找最优方向。”
⚠️数值稳定性：工程师的必修课
周五，最后一天的课程。
Victor表情严肃：
“今天讲的内容，可能会救你们的命——至少会救你们的钱。”
他在白板上写下：
为什么不要直接求逆矩阵？“你们的代码里，我看到大量的np.linalg.inv()调用。这是危险的。”
Bob不服：“求逆有什么问题？数学上不是很自然吗？”
Victor冷笑：
“数学上自然，数值上灾难。来，我给你们演示。”
import numpy as np
# 创建一个接近奇异的矩阵
A = np.array([
[1.0, 1.0],
[1.0, 1.0001]
])
b = np.array([2.0, 2.0001])
# 方法1：直接求逆
x_inv = np.linalg.inv(A) @ b
print(f"直接求逆：{x_inv}")
# 方法2：用solve（内部用LU分解）
x_solve = np.linalg.solve(A, b)
print(f"用solve：{x_solve}")
# 引入微小扰动
b_perturbed = np.array([2.0, 2.0002]) # 只变了0.0001
x_inv_perturbed = np.linalg.inv(A) @ b_perturbed
print(f"扰动后直接求逆：{x_inv_perturbed}")
print(f"结果变化：{x_inv_perturbed - x_inv}")“看，b只变了0.0001，结果却变了几个数量级！这就是条件数的问题。”
Victor解释条件数：
条件数（Condition Number）： κ(A) = ||A|| × ||A⁻¹|| 对于对称矩阵： κ(A) = |λmax| / |λmin| 条件数的意义：
- κ ≈ 1：矩阵良态（well-conditioned），数值稳定
- κ >> 1：矩阵病态（ill-conditioned），误差会被放大
- κ = ∞：矩阵奇异，不可逆 经验法则： 如果κ(A) ≈ 10ᵏ，结果会损失约k位有效数字
“那个接近奇异的矩阵，条件数大约是10⁴。这意味着输入误差会被放大一万倍！”
Carol问：“那怎么避免这个问题？”
Victor给出规则：
工程实践守则：
1. 永远不要直接求逆
✗ x = inv(A) @ b
✓ x = solve(A, b) # 内部用LU/QR分解
2. 检查条件数
cond = np.linalg.cond(A)
if cond > 1e10:
print("警告：矩阵病态！")
3. 使用SVD处理病态矩阵
U, S, Vt = np.linalg.svd(A)
# 截断小奇异值
S[S < threshold] = 0
4. 正则化
# 不是 inv(XᵀX) @ Xᵀy
# 而是 inv(XᵀX + λI) @ Xᵀy（Ridge回归）最后，Victor讲解了稀疏矩阵：
“大规模数据分析中，矩阵往往是稀疏的——大部分元素是0。如果你用稠密矩阵存储，浪费内存不说，计算也慢得要死。”
from scipy import sparse
# 稠密矩阵：1000×1000 = 100万个元素
dense = np.zeros((1000, 1000))
# 假设只有1万个非零元素
# 稀疏矩阵：只存储非零元素
rows = [...] # 非零元素的行索引
cols = [...] # 非零元素的列索引
data = [...] # 非零元素的值
sparse_matrix = sparse.csr_matrix((data, (rows, cols)), shape=(1000, 1000))
# 内存对比
print(f"稠密矩阵：{dense.nbytes / 1e6:.2f} MB")
print(f"稀疏矩阵：{sparse_matrix.data.nbytes / 1e3:.2f} KB")“在推荐系统中，用户-商品评分矩阵通常99%都是0。用稀疏矩阵，千万级用户的系统才能跑得动。”
🎓结业与展望
课程结束后，黑犬把大家召集在一起。
“两周的培训结束了。张总，你觉得他们进步如何？”
Victor推了推眼镜，难得地露出了一丝笑意：
“从文盲进步到了小学生。”
全场哄笑。
“但是，”Victor话锋一转，“有几个人让我印象深刻。Alice对数学的直觉很好，已经能自己推导PCA和因子模型的关系了。Carol的工程能力配合数学思维，实现的SVD压缩代码效率很高。Bob虽然基础差，但学习速度快，从三层循环优化到矩阵运算只用了两天。”
黑犬满意地点头：“那Victor，你愿意继续留下来吗？”
Victor沉默了几秒：
“我考虑考虑。这群人虽然蠢，但比普林斯顿的学生有趣。他们会把数学用到真实的金融产品里，而不是发表论文后束之高阁。况且这里比起学校，工资高多了哈哈哈。”
他收拾东西准备离开，走到门口又回头：
“下周开始，我要测试你们能不能把这两周学的东西用到实际项目中。谁能用SVD把上个月的推荐系统效果提升10%，我请他吃饭。”
Bob喊道：“Victor，你请客的话是去哪里吃？”
“食堂。”
全场爆笑。
Victor离开后，Carol看着白板上密密麻麻的公式，对Alice说：
“这两周学的东西，比我大学四年学的都多。”
Alice点头：“因为Victor不只是在教公式，他在教思维方式。从几何直觉出发，理解每个公式背后的意义，然后才是计算。”
Bob插嘴：“我现在看到矩阵乘法，脑子里自动浮现的是空间变换，不再是行乘列了。”
Carol笑了：“这大概就是Victor说的’从代码猴子进化到量化研究员’的第一步吧。”
📒本周总结
本周是线性代数的进阶篇，也是最后一周的线代内容。文章任务虚拟且真实的量化工作人员也不会搞不懂文中的知识，这样写只是提供一种有趣的方式来理解线性代数的基本知识。
🚨一个重要说明：一些读者问我说原来week9-10不是C++模板编程的主题么，是不是搞错了。其实不是，因为我发现原来计划的是讲完模板编程，插入一个月的线代再讲STL的内容，然而STL库本身就需要模板编程的基础更好理解，把模板和STL放在一起讲反而连贯性会更好，因此在C++基础语法之后把线代提前了。
本周我们跟随Victor完成了线性代数的深入学习：
- 特征值与特征向量
- 核心概念：Av = λv，找到变换的”主轴”
- 几何意义：特征向量是只被拉伸不被旋转的方向
- 应用：PageRank、协方差矩阵分析、风险因子识别
- 矩阵分解三剑客
- SVD：万能分解，A = UΣVᵀ，用于降维、压缩、推荐系统
- PCA：找方差最大的方向，提取主成分和隐含因子
- LU/QR：高效解方程组，保证数值稳定性
- 实战应用
- 推荐系统：用户-商品矩阵分解，点积计算相似度
- 投资组合优化：Markowitz模型，最小方差组合
- 因子模型：用PCA提取风险因子
- 数值稳定性
- 条件数：衡量矩阵的”健康程度”
- 永远不要直接求逆，用solve或SVD
- 大规模数据必须用稀疏矩阵
正如Victor所说：数学不是抽象的符号游戏，它描述的是真实世界的结构。投资组合优化、推荐系统、图像压缩…本质上都是在高维空间里找最优方向。理解了这一点，你就不再是调用API的程序猿，而是真正可以着手做量化研究的人了。
本周的代码实现和练习已上传至Github仓库：https://github.com/shuheng-mo/qd-study-plan-104wk.git
下周预告：W11 - 线性代数进阶(上)
线性代数基本原理告一段落，下周我们将更深入的探讨线性代数在量化中的运用。
各位下周五见！👋